Passos para usar o Telegram Desktop no Ubuntu 16.04

Entre no site do Telegram Desktop.
Escolha sua plataforma se 32 ou 64 bits.

Baixe o pacote do Telegram conforme sua opção de plataforma.
Descompacte o arquivo tar.
Entre no diretório do arquivo descompactado. O nome do diretório é Telegram.
Agora execute o arquivo ./Telegram
Pronto. Se não abrir espere um pouco. Não tive nenhum problema aqui. Uso o Xubuntu 16.04.